Introducción: Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de
un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de
llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del
dominio le corresponde uno, y solo uno, en el Codominio.
Definición Una función lineal es una
función polifónica de primer grado; es decir, una función cuya representación
en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:
f(x) = mx +b
Donde m y b son constantes
reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y
b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se
modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se
desplazará hacia arriba o hacia abajo. Algunos autores llaman función lineal a
aquella con b = 0 de la forma:
f(x) = mx
Mientras que llaman función afín a la que
tiene la forma:
f(x) = mx + b
Cuando b es distinto de
cero, dado que la primera (b = 0) es un ejemplo también de transformación
lineal, en el contexto de álgebra lineal.
La expresión f(x) = mx + b
esta en forma de función o lo que llamamos notación
de función, pero esta misma expresión cambiando f(x) por y toma la forma de
ecuación “y = mx + b” o lo que llamamos notación
de ecuación.
En estas m y b son números
fijos (los nombres 'm' y 'b' son tradicionales). Papel de m: Si y = mx + b,
entonces:
(a) y cambia en m unidades
para cada cambio de x en una unidad.
(b) Un cambio de Δx unidades en x resulta en
un cambio de Δy = mΔx
unidades en y.
(c) Despejando a m, se
obtiene m = 
= 
=
Papel de b: Cuando x = 0, y
= b (forma de ecuación), o f(0) = b (forma de función)
Ejemplos:
La función f(x) = 5x – 1 es
una función lineal, donde m = 5 y b = −1
Las siguientes ecuaciones se
pueden solucionar para y como funciones lineales de x.
Ecuación lineal
|
Función lineal
|
3x
- y + 4 = 0
|
f(x)
= 3x + 4
|
4y
= 0
|
f(x)
= 0
|
3x
+ 4y = 5
|
f(x)
= -(3/4)x + 5/4
|
Para
trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos
de sus puntos.
La
ecuación matemática que
representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = mx + b,
donde f(x) corresponde al valor de y, entonces
y
= mx + b
Donde
"m" es la pendiente de la recta, y "b" es la ordenada al
origen.
La
pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza
o retrocede. Esto depende del signo que tenga.
a =
El
valor de "m" siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es
porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o
baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.
Aprendido
esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de
la siguiente forma:
La ordenada
al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y.
La
recta siempre va a pasar por el punto (0; b)
Representación
gráfica de una función lineal o función afín
Para
graficar una recta, alcanza con los datos que
da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera:
·
1. Se
marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la
recta va a cortar dicho eje.
·
2. Desde
ese punto, subo o bajo según sea el valor de "p" y avanzo o retrocedo
según indique el valor de "q". En ese nuevo lugar, marco el segundo
punto de la recta.
·
3. Se
podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es
suficiente como para poder graficar
la recta.
·
4. Teniendo
ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.
Ejemplo:
Graficar
la siguiente función:
f(x) = 
; m = 
; m =
La
ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en
el 3.
También
podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas.
Ejemplo:
Graficar
la función dada por f(x) = 2x – 1
Solución
Como
la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan
valores a x y se encuentran sus imágenes respectivas,
esto es:
Si x = 0, se tiene que f (0) = 2(0) – 1 = - 1
Si x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3
Así,
los puntos obtenidos son (0, -1) y (2, 3), por los cuales se traza la
gráfica correspondiente.
ejemplos.
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tutoriales parte 1-4
Ejemplo - Problema 1: El ánimo de lucro (en miles de dólares) de una empresa está dada
por.
P (x) = 5000 + 1000x - 5x 2
P (x) = 5000 + 1000x - 5x 2
Donde x es la cantidad (en miles de dólares) que la
empresa gasta en publicidad.
- Encuentre
la cantidad, x, que la empresa tiene que pasar para maximizar su
beneficio.
- Encuentra
el máximo beneficio P max.
Solución del Problema 1:
a. Función que le da el beneficio es una función
cuadrática con el coeficiente líder de -5 =. Esta función (sin fines de lucro)
tiene un valor máximo en x = h = -b/2a
x = H = -1000 /
2 (-5) = 100
b. La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100
miles se gasta en publicidad, está dada por el valor máximo de la función
P
k = c - b 2 / 4a
k = c - b 2 / 4a
c.La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100
miles se gasta en la publicidad, también está dada por P (h = 100)
P (100) = 5000 + 1000 (100) - 5 (100) 2 = 55000.
d. Cuando la empresa gasta 100 mil dólares en publicidad, el beneficio es máximo y es igual a 55.000 dólares.
P (100) = 5000 + 1000 (100) - 5 (100) 2 = 55000.
d. Cuando la empresa gasta 100 mil dólares en publicidad, el beneficio es máximo y es igual a 55.000 dólares.
Ejemplo - Problema 2: Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad
inicial de los Vo pies /
seg. Su distancia S (t), en los pies, por encima del suelo está dada
por
S (t) = -16t 2 + v o t
S (t) = -16t 2 + v o t
Buscar Vo de manera
que el punto más alto que el objeto puede alcanzar es de 300 pies sobre el
suelo.
Solución del Problema 2:
- S (t) es una función cuadrática y el valor
máximo de S (t) es dada por
k = c - b 2 / 4a = 0 - (Vo) 2 / 4 (-16)
- Este valor máximo de S (t) tiene que ser de 300
pies para que el objeto de llegar a una distancia máxima desde el suelo de
300 pies.
- (Vo) 2 / 4 (-16) = 300
- ahora resolvemos - (Vo) 2 /
4 (-16) = 300
V o = 64 * 300 = 80sqrt (3) pies / seg.
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